MATEMATICAS: diciembre 2013

martes, 17 de diciembre de 2013

SIMBOLIZACION DE CONECTORES LOGICOS

SIMBOLIZACION DE CONECTORES

OBJETIVO: Utiliza la lógica para simbolizar conectores lógicos y facilitar su manejo, sin analizar sus valores de verdad.

Son operadores lógicos los siguientes:

CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
NEGACIÓN
CONDICIONAL
BICONDICIONAL

CONJUNCIÓN: Es la unión de dos proposiciones con la palabra "y" se denomina conjunción.

ejemplo: Sus ojos son azules y los ojos de su hermano también son azules.

Es también útil introducir un símbolo para "y" , los mas comunes son:

(^) y (&)

DISYUNCIÓN: Es la unión de la proposiciones con la palabra "o", se denomina disyunción de las proposiciones.

ejemplo: " Esta es el aula cuatro o es una aula de física "

El símbolo que utilizamos para la disyunción es : (v), (F) o (R)

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Utilizamos el mismo ejemplo, si utilizamos la misma proposición.

Sea F la proposición " Esta es el aula cuatro"

y sea R la proposición " Esta es un aula de física"

NEGACIÓN: Cuando a una proposición se le añade el termino de enlace

"no", el resultado se denomina negación de la proposición. Así una negación es una proposición compuesta que utiliza el conector lógico "no". El termino de enlace "no" es análogo a los otros conectores lógicos puesto que forman proposiciones compuestas .

ejemplo: "Las elecciones presidenciales no siempre terminan en agonía"

se lo simboliza: ¬ ~ la proposición del ejemplo queda simbolizada como ¬ (p) y ~ (p).

CONDICIONAL: La palabra "si" procede a la primera proposición, y la palabra "entonces" procede a la segunda proposición.

Se lo simboliza: $\Rightarrow$ así ← La primera proposición simple es "llueve hoy" y

la segunda proposición simple es "se suspende el picni".

Para poder simbolizar completamente esta proposición condicional, emplearemos el símbolo siguiente para el conector lógico.

¬p → Q

Si hoy no es lunes entonces Pedro sabe matemáticas

(s^¬ Q) →p

Si Ruth tiene 18 años y Pedro no sabe matemáticas entonces es lunes.

BICONDICIONAL: Cuando se unen dos proposiciones mediante las palabras : " ...si y solo si.." se encuentran entre dos proposiciones simples. El signo aparece como 2 signos condicionales que van en sentido opuesto. Efectivamente, una proposición bicondicional se parece extraordinariamente a 2 proposiciones condicionales.

ejemplo: " Estos campos se inundan si y solo si el agua alcanza esta altura". Se escogen las letras mayúsculas para las proposiciones simples.

p= "Estos campos se inundan"

q= " El agua alcanza esta altura"

Ahora vemos que es equivalente a tener:

MATEMÁTICA LOGICA

LÓGICA MATEMÁTICAS

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.

EN QUE SE DIVIDE:

La lógica matemática suele dividirse en cuatro teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.

La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

EJEMPLO:

Verdadero

El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

Falso

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.a asignar a sus componentes.

Variable

Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

$\begin{array}{|c||c|} A & A \\ \hline V & V \\ F & F \\ \hline \end{array}$

Negación

La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

$\begin{array}{|c||c|} A & \neg A \\ \hline V & F \\ F & V \\ \hline \end{array}$

Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \and B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

Disyunción

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \or B \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \to B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

viernes, 13 de diciembre de 2013

CASOS DE FACTORIZACION

VÍDEO sobre el caso 4 y 9 de factorizacion

http://www.youtube.com/watch?v=X5gSaJ0E-Uo&feature=youtu.be

http://www.youtube.com/watch?v=w1jA4qYGgmw&list=UUmybCZ51VvF14hRf4IBi4Dg
caso i

factor COMÚN

¿Por qué se llama "Factor común"?

Porque en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común".

EJEMPLO 1:

(Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

CASO II

FACTOR COMÚN POR AGRUPAMIENTO.

En este caso de factorización consiste en agrupar a un grupo de términos con un factor común entre ellos.

Ejemplo 1.

1ero.- Se escribe la ecuación y se observan las parejas de términos que tengan algo en común.

6m-9n+21nx-14mx

2do.- Se agrupan estos términos teniendo en cuenta sus signos.

6m-9n+21nx-14mx

(6m-14mx) –(9n-21nx)

3ero.- Se extrae el término que es común en cada agrupación del corchete y los dividimos para cada uno de los términos del grupo al que pertenecen.

(6m - 14mx) – (9n - 21nx)

2m (3-7x) - 3n (3-7)=

4to. Se nos presenta un nuevo factor común y lo copiamos tal como está y lo dividimos para cada término.

2m (3-7x) - 3n (3-7)=

(3-7x) (2m-3n)

Esta es nuestra respuesta del caso de Factorización por Agrupamiento.

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

“El trinomio cuadrado perfecto” es el desarrollo del “cuadrado de un binomio”

Regla:

Es un trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

1. El cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo:

Este es un conocimiento previo:

Resultado del siguiente producto notable:

(a + b)² = a² + 2b + b²

(a - b)² = a² – 2ab + b²

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Regla:

La diferencia de dos cuadrados es igual producto de dos factores. En el primero se escribe la suma y en el otro la diferencia de sus raíces cuadradas.

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo.

Se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del

sustraendo

Ejemplo:

49x⁴y²– 64w¹⁰z¹⁴

7x²y 8w⁵z⁷

(7x²y + 8w⁵z⁷) (7x²y - 8w⁵z⁷) R//

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN

Para saber si es un trinomio cuadrado perfecto debe tener tres términos y deben tener raíz cuadrada deben tener raíz cuadrada y ser positivo.

Ejemplo X⁴+x²+1

Paso 1 sacamos la raíz cuadrada del primer y segundo termino

X⁴+x²+1

X² 1

Paso 2: para que sea un trinomio cuadrado perfecto el segundo término debe convertirse en el doble producto de estas raíces 2(X²)( 1)=2 X²lo cual se consigue sumándole x²,pero para que el trinomio no varié hay que restarle la misma cantidad que se le suma y tendremos:

x⁴ + x² + 1

+x² - x²

x⁴+2 x²+1 - x²

Paso 3. Factor izamos el trinomio cuadrado perfecto

(x⁴+2 x²+1) - x²

(X² + 1)²- x²

Paso 4. Que hay una diferencia de cuadrados perfectos la resolvemos

(x² + 1)²- x²

(x² + 1+ x) (x² + 1- x)

La respuesta quedaría: (x² + 1+ x) (x² + 1- x)

CASO ESPECIAL

FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS

a⁴+4b⁴

a²+2b²

Paso 1: para que sea un trinomio le falta su segundo término que es el duplo del producto de sus raíces 2(a²) (2b²⁾=4a²b²para para completar el trinomio entonces le sumamos 4a²b² y para que no varié le restamos la misma cantidad.

a⁴+4b⁴

+ 4a²b²- 4a²b²

a⁴+ 4a²b²+4b⁴- 4a²b²

Paso 2: resolvemos el trinomio cuadrado perfecto

( a⁴+ 4a²b²+4b⁴)- 4a²b²

(a²+2b²) - 4a²b²

(a²+2b²+2ab) (a²+2b²-2ab)

Caso VI

Trinomio de la forma ax²ⁿ+ bxⁿ + c

Se identifica por tener tres términos, hay un literal con exponente elevado al cuadrado y uno de ellos es el término independiente.

Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

EJEMPLO:

2x²+ 5x -12 =

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx + c

Para identificar este caso se debe tomar en cuenta que tengan 3 términos. El primer término debe ser distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente.

Ejemplo: 4X²+12X+9

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término (4x²):

4X²(4) + 12x (4) + (9.4)

4²+ 12x (4) + 36

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x:

6*6=36

6+6=12

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente:

(4X+6) (4X+6)

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x²:

La respuesta a nuestro cao de Factorización nos quedaría de la siguiente manera: (2X+3) (2X+3)

CASO viii

CUBO PERFECTOS DE BINOMIOS

La expresión resultante de los productos consta de cuatro términos y se le llama “cubo perfecto de un binomio”

Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

Dos de sus términos, el 1º (a) y el 4º (b), deben poseer raíz cúbica exacta.

El segundo término debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].

El tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].

El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer término siempre son positivos (si el primer y tercer término son negativos realizar factor común con el factor -1).

Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b), si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b).

Ejemplo: 27a²– 54a²b² +36ab⁴ -8b⁶

3a 2b⁶

3(3a)²(2b²)= 54a²b²

3(3a)(2b²)²= 36ab²

R// (3a – 2b²)³

Caso IX

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Reglas:

“La suma de cubos es igual al producto de dos factores. El primer factor es la suma de las raíces cubicas, mientras que el segundo factor es un trinomio con los signos alternados, el cual está formado por el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las dos y más el cuadrado de la segunda”

“La diferencia de cubos es igual al producto de dos factores. El primer factor es la diferencia de las raíces cubicas, mientras que el segundo factor es un trinomio con todos los signos positivos; el cual está formado por el cuadrado de la primera raíz más el producto de los dos y más el cuadrado de la segunda”

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Este caso se lo reconoce porque sus exponentes deben ser iguales ya sean números pares o impares

m⁵+n⁵

Paso 1.- Sacamos la raíz quinta de m y de n

m⁵+n⁵

m+ n

Paso 2.- Procedemos a resolver cuando tenemos signo positivo la operación varia + - m disminuye y n aumenta

m+n= (m⁴-m³n¹-m²n²-m¹n³+n⁴)